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东莞家教:高一数学上学期单元测试题


来源:东莞家教老师 日期:2018/7/5
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)。
1.已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 的值为 (    )
A.1 B.4 C.1或4 D. 或4
2.函数y=log (x2-6x+17)的值域是 (    )
A.R B.[8,+ C.(-∞,- D.[-3,+∞]
3.若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a-1)+lg(b-1)的值等于 (    )
A.0 B.lg2 C.1 D.-1
4.设x∈R,若a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立,则 (    )
A.a≥1 B.a>1 C.0<a≤1 D.a<1
5.设有两个命题①关于x的不等式x2+2ax+4>0对于一切x∈R恒成立,②函数f(x)=-(5
   -2a)x是减函数,若此二命题有且只有一个为真命题,则实数a的范围是 (    )
A.(-2,2) B.(-∞,2) C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)
6.设函数f(x)=f( )lgx+1,则f(10)值为 (    )
A.1 B.-1 C.10 D. 
7.已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1,则f(1)等于 (    )
A.0 B.1 C.-1 D.4
8.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是
(    )
A.(0, ) B.(0, C.( ,+∞) D.(0,+∞)
9.已知函数y=f(2x)定义域为[1,2],则y=f(log2x)的定义域为 (    )
A.[1,2] B.[4,16] C.[0,1] D.(-∞,0)
10.已知f(x)=x2-bx+c,且f(0)=3,f(1+x)=f(1-x),则有 (    )
A.f(bx)≥f(cx) B.f(bx)≤f(cx)
C.f(bx)<f(cx) D.f(bx)、f(cx)大小不确定
11.将函数y=2x的图象(    ),再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.(    ) (    )
A.先向左平移一个单位            B.先向右平移一个单位
C.先向上平移一个单位            D.先向下平移一个单位
12.今有一组实验数据如下:
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
   现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是
(    )
A.v=log2t B.v=log t C.v= D.v=2t-2
 
第Ⅱ卷
 
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)。
13.若不等式3 >( )x+1对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为______.
14.f(x)= ,则f(x)值域为____       __.
15.某商店经销一种洗衣粉,年销售总量为6000包,每包进价为2.8元、销售价为3.4元,全年分若干次进货、每次进货均为x包,已知每次进货运输费为62.5元,全年保管费为1.5x元,为使利润最大,则x=____     __.
16.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药
物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 (毫克)与时
间 (小时)成正比;药物释放完毕后, 与 的函数关系式为
 ( 为常数),如图所示.
据图中提供的信息,回答下列问题:
   (I)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 (毫克)与时间 (小时)之间的函数关系式为
       (II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时,学生方可进教室,那么, 药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题,共74分)。
17.(12分)函数f(x)= (ax+a-x)(a>0且a≠1)的图象经过点(2, )
   (1)求f(x)的解析式;
   (2)证明f(x)在[0,+∞ 上是增函数.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18.(12分)已知函数f(x)= +lg .
   (1)求此函数的定义域,并判断函数单调性.
   (2)解关于x的不等式f[x(x- )]< .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.(12分)某种细菌每隔两小时分裂一次,(每一个细菌分裂成两个,分裂所须时间忽略不计),研究开始时有两个细菌,在研究过程中不断进行分裂,细菌总数y是研究时间t的函数,记作y=f(t).
   (1)写出函数y=f(t)的定义域和值域.
   (2)在所给坐标系中画出y=f(t)(0≤t<6)的图象.
 (3)写出研究进行到n小时(n≥0,n∈Z)时,细菌的总数有多少个(用关于n的式子表示)?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20.(12分)已知f(x)=lg(x2-2x+m),其中m∈R为常数
   (1)求f(x)的定义域;
   (2)证明f(x)的图象关于直线x=1对称.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21.(12分)某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量使用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图曲线
   (1)写出服药后y与t之间的函数关系式;
   (2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为7:00,问一天中怎样安排服药时间、次数,效果最佳?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22.(14分)已知函数f(x)= .
   (1)判断f(x)的单调性,并加以证明.
   (2)求f(x)的反函数. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
参考答案
一、选择题
1.B解析: 原命题等价 x=4y,∴ =4
2.C解析: y=log [(x-3)2+8]≤log 8=-3
3.A解析:由lg(a+b)=lga+lgb a+b=ab,即(a-1)(b-1)=1,∴lg(a-1)+lg(b-1)
   =0
4.D解析: 令t=|x-3|+|x+7|,∴x∈R,∴tmin=10,y=lgt≥lg10=1,故a<1
5.D解析: ①等价于Δ=(2a)2-16<0 -2<a<2
   ②等价于5-2a>1 a<2
   ①②有且只有一个为真,∴a∈(-∞,-2)
6.A解析: ∵f(x)=f( )lgx+1,∴f( )=f(x)lg +1,∴f(10)=f( )lg10+1,
   且f( )=f(10)lg +1,解得f(10)=1.
7.C解析: 令f(1)=x,则f-1(x)=1,令2x+1=1,∴x=-1
8.A解析:f(x)=log2a(x+1)>0=log2a1,∵x∈(-1,0),∴x+1<1,∴0<2a<1,即0<a< 
9.B解析:由1≤x≤2 2≤2x≤4,∴y=f(x)定义域为[2,4],由2≤log2x≤4,得4≤x≤
   16
10.B 解析: 由f(0)=3 c=3,由f(1+x)=f(1-x)知对称轴为x=1,∴b=2
   ①x=0,2x=3x,∴f(2x)=f(3x)
   ②x>0,1<2x<3x,∴f(2x)<f(3x)
   ③x<0,1>2x>3x,∴f(2x)<f(3x)
11.D解析:y=2x的图象向下平移一个单位得到y=2x-1的图象,而y=2x-1的反函数为y=log2
   (x+1).
12.C解析: 五组数据,取近似值1.99≈2;4.04≈4;5.1≈5,18.01≈18,代入验证可知
    v= 最接近.
 
二、填空题
13. - <a<  解析: 由题意:x2-2ax>-x-1恒成立,即x2-(2a-1)x+1>0恒成立
   故Δ=(2a-1)2-4<0 - <a< 
14.(-2,-1)解析: x∈(-∞,1)时,x-1≤0,0<3x-1≤1,∴-2<f(x)≤-1,x∈(1,+∞)时,1-x<0,0<31-x<1,∴-2<f(x)<-1,∴f(x)值域为(-2,-1)
15.500解析:设获得的利润为y元,则y=(3.4-2.8)×6000- ×62.5-1.5x=-1.5(x+ )+3600,可证明函数在(0,500)上递增,在[500,+∞)上递减,因此当x=500时,函数取得最大值.
16.(I) (II) 解析:(I)由题意和图示,当 时,可设 ( 为待定系数),由于点 在直线上, ;同理,当 时,可得 
(II)由题意可得 ,即得 或  或           ,由题意至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.
三、解答题
17.解: (1)∵f(x)的图象过点(2, )
∴ (a2+a-2)= ,即9a4-82a2+9=0,解得a2=9或a2= 
∵a>0且a≠1,∴a=3或a= 
当a=3时,f(x)=  (3x+3-x)
当a= 时,f(x)= [( )x+( )-x]= (3x+3-x)
∴所求解析式为f(x)= (3x+3-x)
   (2)设x1,x2∈[0,+∞],且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=  
=  
=  
由0≤x1<x2, <0且3 >1∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)
因此f(x)在[0,+∞ 上是增函数
18.解: (1)f(x)= +lg = +lg(-1+ )
要使f(x)有意义,即 >0,∴f(x)的定义域为-1<x<1
设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=lg(-1+ )-lg(-1+ )
∵-1<x1<x2<1,∴0<x1+1<x2+1
∴-1+ >-1+ 
∴f(x1)>f(x2),即f(x)在(-1,1)上为减函数
  (2)∵f(0)= ,∴f[x(x- )]< =f(0)
由(1)知f(x)在(-1,1)上为奇函数
∴ ,解得: 
即不等式解集为( ,0)∪( , )
19.解: (1)y=f(t)定义域为t∈[0,+∞],
值域为{y|y=2n,n∈N*}
   (2)0≤t<6时,为一分段函数
y= 
图象如图
   (3)n为偶数时,y=2 
n为奇数时,y=2 
∴y= 
20.解: (1)由x2-2x+m>0得(x-1)2>1-m
当1-m<0,即m>1时,x∈R
当1-m≥0,即m≤1时,x<1- 或x>1+ ,
故当m>1时,f(x)定义域为R.
当m≤1时f(x)定义域为(-∞,1- )∪(1+ ,+∞)
   (2)设A(x0,f(x0))为f(x)图象上任意一点,则A点关于直线x=1的对称点为A′(2-x0,f(x0))
∵f(2-x0)=lg[(2-x0)2-2(2-x0)+m]=lg(x02-2x0+m)=f(x0)
∴A′点也在f( x)图象上
由A点的任意性知f(x)的图象关于直线x=1对称.
21.解: (1)依题意,得y= 
   (2)设第二次服药时,在第一次服药后t1小时
则- t1+ =4,t1=3
因而第二次服药应在10:00
设第三次服药在第一次服药后t2小时,则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和,即有- t2+ - (t2-3)+ =4
解得:t2=7(小时)
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>8),则此时第一次服的药已吸收完,此时血液中含药量应为第二、三次之和
- (t3-3)+ +[- (t3-7)+ ]=4
解得t3=10.5小时
故第四次服药应在17:30.
22.解: (1)∵x∈R时,2x+1>0恒成立.
∴f(x)的定义域是R.
f(x)在R上是增函数,证明如下:
设x1,x2∈R,且x1<x2,则0<2x1<2x2
∴f(x1)-f(x2)= 
= .
∵2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在R上是增函数.
   (2)由y= ,解得2x= 
∵2x>0,∴ >0,即 -1<y<1
∴x=log2  (-1<y<1=
∴f(x)的反函数为f-1(x)=log2  (-1<x<1).
 
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